Rcomplete.v

Built with Alectryon, running Coq+SerAPI v8.10.0+0.7.0. Coq sources are in this panel; goals and messages will appear in the other. Bubbles () indicate interactive fragments: hover for details, tap to reveal contents. Use Ctrl+↑ Ctrl+↓ to navigate, Ctrl+🖱️ to focus.
(************************************************************************)
(*         *   The Coq Proof Assistant / The Coq Development Team       *)
(*  v      *   INRIA, CNRS and contributors - Copyright 1999-2018       *)
(* <O___,, *       (see CREDITS file for the list of authors)           *)
(*   \VV/  **************************************************************)
(*    //   *    This file is distributed under the terms of the         *)
(*         *     GNU Lesser General Public License Version 2.1          *)
(*         *     (see LICENSE file for the text of the license)         *)
(************************************************************************)

Require Import Rbase.
Require Import Rfunctions.
Require Import Rseries.
Require Import SeqProp.
Require Import Max.
Local Open Scope R_scope.

(****************************************************)
(*              R is complete :                     *)
(*        Each sequence which satisfies             *)
(*       the Cauchy's criterion converges           *)
(*                                                  *)
(*    Proof with adjacent sequences (Vn and Wn)     *)
(****************************************************)

Theorem R_complete :
  forall Un:nat -> R, Cauchy_crit Un -> { l:R | Un_cv Un l } .forall Un : nat -> R,
Cauchy_crit Un -> {l : R | Un_cv Un l}
Proof.forall Un : nat -> R,
Cauchy_crit Un -> {l : R | Un_cv Un l}
  intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
{l : R | Un_cv Un l}
  set (Vn := sequence_minorant Un (cauchy_min Un H)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
{l : R | Un_cv Un l}
  set (Wn := sequence_majorant Un (cauchy_maj Un H)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
{l : R | Un_cv Un l}
  pose proof (maj_cv Un H) as (x,p).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv (sequence_ub Un (cauchy_maj Un H)) x
{l : R | Un_cv Un l}
  fold Wn in p.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
{l : R | Un_cv Un l}
  pose proof (min_cv Un H) as (x0,p0).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv (sequence_lb Un (cauchy_min Un H)) x0
{l : R | Un_cv Un l}
  fold Vn in p0.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
{l : R | Un_cv Un l}
  cut (x = x0).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0 -> {l : R | Un_cv Un l}
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  intros H2.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
H2:x = x0
{l : R | Un_cv Un l}
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  exists x.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
H2:x = x0
Un_cv Un x
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  rewrite <- H2 in p0.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x
H2:x = x0
Un_cv Un x
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Un_cv.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x
H2:x = x0
forall eps : R,
eps > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Un_cv in p; unfold Un_cv in p0.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  cut (0 < eps / 3).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  intro H4.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  elim (p (eps / 3) H4); intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n : nat,
(n >= x1)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps / 3
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  elim (p0 (eps / 3) H4); intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n : nat,
(n >= x1)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n : nat,
(n >= x2)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps / 3
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  exists (max x1 x2).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n : nat,
(n >= x1)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n : nat,
(n >= x2)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps / 3
forall n : nat,
(n >= Nat.max x1 x2)%nat -> R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
R_dist (Un n) x < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold R_dist.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Un n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rle_lt_trans with (Rabs (Un n - Vn n) + Rabs (Vn n - x)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Un n - x) <=
Rabs (Un n - Vn n) + Rabs (Vn n - x)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Un n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  replace (Un n - x) with (Un n - Vn n + (Vn n - x));
  [ apply Rabs_triang | ring ].Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
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H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
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H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rle_lt_trans with (Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Un n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <=
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  do 2 rewrite <- (Rplus_comm (Rabs (Vn n - x))).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) + Rabs (Un n - Vn n) <=
Rabs (Vn n - x) + Rabs (Wn n - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
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(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rplus_le_compat_l.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Un n - Vn n) <= Rabs (Wn n - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  repeat rewrite Rabs_right.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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x1:nat
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(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n <= Wn n - Vn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Wn n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Rminus; do 2 rewrite <- (Rplus_comm (- Vn n));
    apply Rplus_le_compat_l.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Wn n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
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H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assert (H8 := Vn_Un_Wn_order Un (cauchy_maj Un H) (cauchy_min Un H)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat,
sequence_lb Un (cauchy_min Un H) n0 <= Un n0 <=
sequence_ub Un (cauchy_maj Un H) n0
Un n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Wn n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  fold Vn Wn in H8.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat, Vn n0 <= Un n0 <= Wn n0
Un n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Wn n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  elim (H8 n); intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat, Vn n0 <= Un n0 <= Wn n0
H6:Vn n <= Un n
H7:Un n <= Wn n
Un n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Wn n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assumption.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Wn n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rle_ge.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
0 <= Wn n - Vn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Rminus; apply Rplus_le_reg_l with (Vn n).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Vn n + 0 <= Vn n + (Wn n + - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  rewrite Rplus_0_r.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Vn n <= Vn n + (Wn n + - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  replace (Vn n + (Wn n + - Vn n)) with (Wn n); [ idtac | ring ].Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Vn n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assert (H8 := Vn_Un_Wn_order Un (cauchy_maj Un H) (cauchy_min Un H)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat,
sequence_lb Un (cauchy_min Un H) n0 <= Un n0 <=
sequence_ub Un (cauchy_maj Un H) n0
Vn n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  fold Vn Wn in H8.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat, Vn n0 <= Un n0 <= Wn n0
Vn n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
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eps:R
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x1:nat
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(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  elim (H8 n); intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat, Vn n0 <= Un n0 <= Wn n0
H6:Vn n <= Un n
H7:Un n <= Wn n
Vn n <= Wn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rle_trans with (Un n); assumption.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Un n - Vn n >= 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rle_ge.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
0 <= Un n - Vn n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Rminus; apply Rplus_le_reg_l with (Vn n).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Vn n + 0 <= Vn n + (Un n + - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  rewrite Rplus_0_r.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Vn n <= Vn n + (Un n + - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  replace (Vn n + (Un n + - Vn n)) with (Un n); [ idtac | ring ].Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Vn n <= Un n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assert (H8 := Vn_Un_Wn_order Un (cauchy_maj Un H) (cauchy_min Un H)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat,
sequence_lb Un (cauchy_min Un H) n0 <= Un n0 <=
sequence_ub Un (cauchy_maj Un H) n0
Vn n <= Un n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  fold Vn Wn in H8.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat, Vn n0 <= Un n0 <= Wn n0
Vn n <= Un n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  elim (H8 n); intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
H8:forall n0 : nat, Vn n0 <= Un n0 <= Wn n0
H6:Vn n <= Un n
H7:Un n <= Wn n
Vn n <= Un n
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assumption.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rle_lt_trans with (Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <=
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <
eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  do 2 rewrite <- (Rplus_comm (Rabs (Vn n - x))).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) + Rabs (Wn n - Vn n) <=
Rabs (Vn n - x) + (Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n))
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <
eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rplus_le_compat_l.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - Vn n) <=
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <
eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  replace (Wn n - Vn n) with (Wn n - x + (x - Vn n));
  [ apply Rabs_triang | ring ].Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <
eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply Rlt_le_trans with (eps / 3 + eps / 3 + eps / 3).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) + Rabs (x - Vn n) + Rabs (Vn n - x) <
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  repeat apply Rplus_lt_compat.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (x - Vn n) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold R_dist in H1.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> Rabs (Wn n0 - x) < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Wn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (x - Vn n) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply H1.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> Rabs (Wn n0 - x) < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(n >= x1)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (x - Vn n) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold ge; apply le_trans with (max x1 x2).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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H1:forall n0 : nat,
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(x1 <= Nat.max x1 x2)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> Rabs (Wn n0 - x) < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(Nat.max x1 x2 <= n)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (x - Vn n) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply le_max_l.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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x1:nat
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(n0 >= x1)%nat -> Rabs (Wn n0 - x) < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(Nat.max x1 x2 <= n)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (x - Vn n) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assumption.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
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H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
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H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (x - Vn n) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
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eps:R
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
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H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  rewrite <- Rabs_Ropp.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
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H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (- (x - Vn n)) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  replace (- (x - Vn n)) with (Vn n - x); [ idtac | ring ].Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
Rabs (Vn n - x) < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
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eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
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H:Cauchy_crit Un
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  forall n0 : nat,
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  forall n0 : nat,
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Un:nat -> R
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
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  forall n0 : nat,
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H:Cauchy_crit Un
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x:R
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eps0 > 0 ->
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
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  forall n0 : nat,
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  forall n0 : nat,
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x0:R
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Un:nat -> R
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eps0 > 0 ->
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p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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H:Cauchy_crit Un
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  forall n0 : nat,
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H:Cauchy_crit Un
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eps0 > 0 ->
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
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  forall n0 : nat,
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H:Cauchy_crit Un
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  forall n0 : nat,
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:Un_cv Wn x
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x = x0
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H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
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H:Cauchy_crit Un
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p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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exists N : nat,
  forall n0 : nat,
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
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0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:Un_cv Wn x
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p0:Un_cv Vn x0
x = x0
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H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
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  forall n0 : nat,
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  forall n0 : nat,
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x2:nat
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n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold R_dist in H3.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
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eps:R
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H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
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H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply H3.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
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x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> Rabs (Vn n0 - x) < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(n >= x2)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold ge; apply le_trans with (max x1 x2).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> Rabs (Vn n0 - x) < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(x2 <= Nat.max x1 x2)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> Rabs (Vn n0 - x) < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(Nat.max x1 x2 <= n)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply le_max_r.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> Rabs (Vn n0 - x) < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
(Nat.max x1 x2 <= n)%nat
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  assumption.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 <= eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  right.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  pattern eps at 4; replace eps with (3 * (eps / 3)).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
eps / 3 + eps / 3 + eps / 3 = 3 * (eps / 3)
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
3 * (eps / 3) = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  ring.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n0 : nat,
  (n0 >= N)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
H4:0 < eps / 3
x1:nat
H1:forall n0 : nat,
(n0 >= x1)%nat -> R_dist (Wn n0) x < eps / 3
x2:nat
H3:forall n0 : nat,
(n0 >= x2)%nat -> R_dist (Vn n0) x < eps / 3
n:nat
H5:(n >= Nat.max x1 x2)%nat
3 * (eps / 3) = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Rdiv; rewrite <- Rmult_assoc; apply Rinv_r_simpl_m; discrR.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x < eps0
H2:x = x0
eps:R
H0:eps > 0
0 < eps / 3
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  unfold Rdiv; apply Rmult_lt_0_compat;
    [ assumption | apply Rinv_0_lt_compat; prove_sup0 ].Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
x = x0
  apply cond_eq.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
forall eps : R, 0 < eps -> Rabs (x - x0) < eps
  intros.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
Rabs (x - x0) < eps
  cut (0 < eps / 5).Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5 -> Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  intro.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold Un_cv in p; unfold Un_cv in p0.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Wn n) x < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> R_dist (Vn n) x0 < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold R_dist in p; unfold R_dist in p0.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  elim (p (eps / 5) H1); intros N1 H4.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  elim (p0 (eps / 5) H1); intros N2 H5.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold Cauchy_crit in H.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N)%nat ->
  (m >= N)%nat -> R_dist (Un n) (Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold R_dist in H.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N)%nat ->
  (m >= N)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  elim (H (eps / 5) H1); intros N3 H6.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N)%nat ->
  (m >= N)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  set (N := max (max N1 N2) N3).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  apply Rle_lt_trans with (Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - x0)).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - x0) <= Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - x0)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace (x - x0) with (x - Wn N + (Wn N - x0)); [ apply Rabs_triang | ring ].Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  apply Rle_lt_trans with
    (Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) + Rabs (Vn N - x0)).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - x0) <=
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) +
Rabs (Vn N - x0)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) +
Rabs (Vn N - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  rewrite Rplus_assoc.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - x0) <=
Rabs (x - Wn N) +
(Rabs (Wn N - Vn N) + Rabs (Vn N - x0))
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) +
Rabs (Vn N - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  apply Rplus_le_compat_l.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (Wn N - x0) <=
Rabs (Wn N - Vn N) + Rabs (Vn N - x0)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) +
Rabs (Vn N - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace (Wn N - x0) with (Wn N - Vn N + (Vn N - x0));
  [ apply Rabs_triang | ring ].Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) +
Rabs (Vn N - x0) < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace eps with (eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (x - Wn N) + Rabs (Wn N - Vn N) +
Rabs (Vn N - x0) < eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
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(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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x:R
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p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  repeat apply Rplus_lt_compat.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
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x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
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eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
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H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
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(n >= N3)%nat ->
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Rabs (x - Wn N) < eps / 5
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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H1:0 < eps / 5
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N2:nat
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N3:nat
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(n >= N3)%nat ->
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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  forall n m : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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eps:R
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N3:nat
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (Vn N - x0) < eps / 5
Un:nat -> R
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eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
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H1:0 < eps / 5
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H4:forall n : nat,
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N2:nat
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(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
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(n >= N3)%nat ->
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
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H0:0 < eps
0 < eps / 5
  rewrite <- Rabs_Ropp.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
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H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (- (x - Wn N)) < eps / 5
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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H1:0 < eps / 5
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H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (Wn N - Vn N) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
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(n >= N3)%nat ->
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Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N3:nat
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace (- (x - Wn N)) with (Wn N - x); [ apply H4 | ring ].Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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eps:R
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
(N >= N1)%nat
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
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x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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H1:0 < eps / 5
N1:nat
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N2:nat
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N3:nat
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(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
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p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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x0:R
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
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x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
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0 < eps / 5
  unfold ge, N.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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eps:R
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H1:0 < eps / 5
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
(N1 <= Nat.max (Nat.max N1 N2) N3)%nat
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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eps:R
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H4:forall n : nat,
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H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs (Wn N - Vn N) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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H1:0 < eps / 5
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p:forall eps0 : R,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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eps:R
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H1:0 < eps / 5
N1:nat
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N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  apply le_trans with (max N1 N2); apply le_max_l.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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N1:nat
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N3:nat
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Un:nat -> R
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eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N2:nat
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N3:nat
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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x:R
p:Un_cv Wn x
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  unfold Wn, Vn.Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
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p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
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H1:0 < eps / 5
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
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(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs
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   sequence_lb Un (cauchy_min Un H) N) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N1:nat
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Un:nat -> R
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  (n >= N0)%nat ->
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
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N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
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p0:Un_cv Vn x0
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H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold sequence_majorant, sequence_minorant.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
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N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
Rabs
  (lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
   glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (min_ss Un N (cauchy_min Un H))) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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H1:0 < eps / 5
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N2:nat
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N3:nat
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Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  assert
    (H7 :=
      approx_maj (fun k:nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Rabs
  (lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
   glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (min_ss Un N (cauchy_min Un H))) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
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(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  assert
    (H8 :=
      approx_min (fun k:nat => Un (N + k)%nat) (min_ss Un N (cauchy_min Un H))).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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N1:nat
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N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Rabs
  (lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
   glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (min_ss Un N (cauchy_min Un H))) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  cut
    (Wn N =
      majorant (fun k:nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) ->
Rabs
  (lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
   glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
     (min_ss Un N (cauchy_min Un H))) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
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p0:forall eps0 : R,
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  Rabs
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H8:forall eps0 : R,
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  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
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x0:R
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N3:nat
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x0:R
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N3:nat
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Un:nat -> R
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x:R
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0 < eps / 5
  cut
    (Vn N =
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x0:R
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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  Rabs
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) ->
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     (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
   glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
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Un:nat -> R
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x0:R
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N3:nat
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Vn N =
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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x:R
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x0:R
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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x0:R
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Un:nat -> R
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p:Un_cv Wn x
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0 < eps / 5
  intros H9 H10.Un:nat -> R
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  Rabs
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exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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Rabs
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     (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
   glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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  Rabs
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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eps0 > 0 ->
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eps0 > 0 ->
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N1:nat
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N3:nat
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Un:nat -> R
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p:Un_cv Wn x
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0 < eps / 5
  elim (H8 (eps / 5) H1); intros k1 H12.Un:nat -> R
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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k1:nat
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
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x0:R
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
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x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  apply Rle_lt_trans with
    (Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) + Rabs (Un (N + k2)%nat - Vn N)).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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H6:forall n m : nat,
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
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H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
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  Rabs (Vn N - Un (N + k)%nat) < eps0
H9:Vn N =
glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
H10:Wn N = lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
k2:nat
H11:Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) < eps / 5
k1:nat
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x0:R
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exists k : nat,
  Rabs (Vn N - Un (N + k)%nat) < eps0
H9:Vn N =
glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
H10:Wn N = lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
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H11:Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) < eps / 5
k1:nat
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
Un:nat -> R
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  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
Un:nat -> R
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace (Wn N - Vn N) with
  (Wn N - Un (N + k2)%nat + (Un (N + k2)%nat - Vn N));
  [ apply Rabs_triang | ring ].Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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0 < eps0 ->
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
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(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Vn N =
glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
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x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
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H7:forall eps0 : R,
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  Rabs
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
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N3:nat
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
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x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
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Un:nat -> R
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p:Un_cv Wn x
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0 < eps / 5
  apply Rplus_le_compat_l.Un:nat -> R
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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H6:forall n m : nat,
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H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
H10:Wn N = lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
k2:nat
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k1:nat
H12:Rabs (Vn N - Un (N + k1)%nat) < eps / 5
Rabs (Un (N + k2)%nat - Vn N) <=
Rabs (Un (N + k2)%nat - Un (N + k1)%nat) +
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Un:nat -> R
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Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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H0:0 < eps
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N1:nat
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N2:nat
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
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H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs (Vn N - Un (N + k)%nat) < eps0
H9:Vn N =
glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
H10:Wn N = lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
k2:nat
H11:Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) < eps / 5
k1:nat
H12:Rabs (Vn N - Un (N + k1)%nat) < eps / 5
Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) +
Rabs (Un (N + k2)%nat - Un (N + k1)%nat) +
Rabs (Un (N + k1)%nat - Vn N) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
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x:R
p:forall eps0 : R,
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  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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N1:nat
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N2:nat
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N3:nat
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
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exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Vn N =
glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
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(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
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  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
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x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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N1:nat
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N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
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x:R
p:forall eps0 : R,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace (Un (N + k2)%nat - Vn N) with
  (Un (N + k2)%nat - Un (N + k1)%nat + (Un (N + k1)%nat - Vn N));
  [ apply Rabs_triang | ring ].Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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N2:nat
H5:forall n : nat,
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H6:forall n m : nat,
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H7:forall eps0 : R,
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exists k : nat,
  Rabs (Wn N - Un (N + k)%nat) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs (Vn N - Un (N + k)%nat) < eps0
H9:Vn N =
glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
H10:Wn N = lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
k2:nat
H11:Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) < eps / 5
k1:nat
H12:Rabs (Vn N - Un (N + k1)%nat) < eps / 5
Rabs (Wn N - Un (N + k2)%nat) +
Rabs (Un (N + k2)%nat - Un (N + k1)%nat) +
Rabs (Un (N + k1)%nat - Vn N) < 3 * (eps / 5)
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
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exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
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H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
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  Rabs
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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  Rabs
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
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    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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N3:nat
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
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0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
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Un:nat -> R
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p:Un_cv Wn x
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  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
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exists k : nat,
  Rabs (Vn N - Un (N + k)%nat) < eps0
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
H10:Wn N = lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat) (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
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  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  replace (- (Un (N + k1)%nat - Vn N)) with (Vn N - Un (N + k1)%nat);
  [ assumption | ring ].Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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H6:forall n m : nat,
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(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
H7:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (lub (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
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glb (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (min_ss Un N (cauchy_min Un H))
Un:nat -> R
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
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  Rabs
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
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x:R
p:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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N3:nat
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Un:nat -> R
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  (n >= N0)%nat ->
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N3:nat
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Un:nat -> R
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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       (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
H8:forall eps0 : R,
0 < eps0 ->
exists k : nat,
  Rabs
    (glb (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat)
       (min_ss Un N (cauchy_min Un H)) -
     (fun k0 : nat => Un (N + k0)%nat) k) < eps0
Wn N =
lub (fun k : nat => Un (N + k)%nat)
  (maj_ss Un N (cauchy_maj Un H))
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
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  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
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Un:nat -> R
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  reflexivity.Un:nat -> R
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x0:R
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Un:nat -> R
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x0:R
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N3:nat
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x0:R
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  forall n : nat,
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x0:R
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(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  apply le_max_r.Un:nat -> R
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exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
(Nat.max N1 N2 <= N)%nat
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
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p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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H5:forall n : nat,
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H6:forall n m : nat,
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Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
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H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold N; apply le_max_l.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
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  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
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Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
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x0:R
p0:forall eps0 : R,
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  forall n : nat,
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eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
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N2:nat
H5:forall n : nat,
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N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  pattern eps at 4; replace eps with (5 * (eps / 5)).Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
eps / 5 + 3 * (eps / 5) + eps / 5 = 5 * (eps / 5)
Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
5 * (eps / 5) = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  ring.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
5 * (eps / 5) = eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold Rdiv; rewrite <- Rmult_assoc; apply Rinv_r_simpl_m.Un:nat -> R
H:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n m : nat,
  (n >= N0)%nat ->
  (m >= N0)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps0
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps0
x0:R
p0:forall eps0 : R,
eps0 > 0 ->
exists N0 : nat,
  forall n : nat,
  (n >= N0)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps0
eps:R
H0:0 < eps
H1:0 < eps / 5
N1:nat
H4:forall n : nat,
(n >= N1)%nat -> Rabs (Wn n - x) < eps / 5
N2:nat
H5:forall n : nat,
(n >= N2)%nat -> Rabs (Vn n - x0) < eps / 5
N3:nat
H6:forall n m : nat,
(n >= N3)%nat ->
(m >= N3)%nat -> Rabs (Un n - Un m) < eps / 5
N:=Nat.max (Nat.max N1 N2) N3:nat
5 <> 0
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  discrR.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps / 5
  unfold Rdiv; apply Rmult_lt_0_compat.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < eps
Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < / 5
  assumption.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < / 5
  apply Rinv_0_lt_compat.Un:nat -> R
H:Cauchy_crit Un
Vn:=sequence_lb Un (cauchy_min Un H):nat -> R
Wn:=sequence_ub Un (cauchy_maj Un H):nat -> R
x:R
p:Un_cv Wn x
x0:R
p0:Un_cv Vn x0
eps:R
H0:0 < eps
0 < 5
  prove_sup0; try apply lt_O_Sn.
Qed.